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Ecuaciones Diferenciales Aplicadas: Ecuaciones Separables en Industria

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

Ecuaciones Separables en Procesos Industriales

Ecuaciones Diferenciales Separables

Introducción y Contexto

Las ecuaciones diferenciales separables son fundamentales en ingeniería industrial para modelar fenómenos de cambio continuo. La derivada representa la pendiente o tasa de cambio instantánea del sistema.

Una ecuación diferencial es separable cuando puede escribirse en la forma:

Forma General

$$ \frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y) $$

Que se resuelve separando variables e integrando ambos lados:

$$ \int \frac{1}{h(y)} dy = \int g(x) dx + C $$

Interpretación de la Pendiente

  • Pendiente Negativa: El sistema decae o se enfría (ej. temperatura, radiactividad).
  • Pendiente Positiva: El sistema crece (ej. bacterias, aprendizaje).
  • Pendiente Cero: El sistema está en equilibrio estable.

Importancia en ISO

Las normas ISO requieren control preciso de variables continuas. Las ecuaciones diferenciales permiten predecir el comportamiento del sistema y asegurar cumplimiento normativo.

Contexto: Refrigeración Industrial ISO 8573-1

Ejercicio 1: Enfriamiento de Horno Industrial

Horno Industrial

Planteamiento del Problema

Un horno industrial debe enfriarse de manera controlada después del proceso de templado. La tasa de enfriamiento sigue la Ley de Newton.

Objetivo y Propósito

Objetivo Numérico (Norma ISO 8573-1)
Temperatura Final ≤ 40°C en 30 min

Ecuación Diferencial

$$ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_{amb}) $$
Solución: $$ T(t) = T_{amb} + (T_0 - T_{amb})e^{-kt} $$

Parámetros del Sistema

Temperatura Inicial T₀ (°C) 200
Temperatura Ambiente T_amb (°C) 25
Constante k (1/min) 0.05
Tiempo t (min) 30
0
Temperatura (°C)
0
Pendiente (°C/min)
--
Estado

Conclusión

La temperatura final determina si el proceso cumple con las especificaciones de seguridad ISO.

Contexto: Industria Alimentaria ISO 22000

Ejercicio 2: Crecimiento Bacteriano en Alimentos

Bacterias

Planteamiento del Problema

En la industria alimentaria, el crecimiento bacteriano debe ser monitoreado para asegurar la inocuidad del producto.

Objetivo y Propósito

Objetivo Numérico (Norma ISO 22000)
Población ≤ 1000 UFC en 8 horas

Ecuación Diferencial

$$ \frac{dP}{dt} = rP $$
Solución: $$ P(t) = P_0 e^{rt} $$

Parámetros del Sistema

Población Inicial P₀ (UFC) 100
Tasa de Crecimiento r (1/hora) 0.1
Tiempo t (horas) 8
0
Población (UFC)
0
Pendiente (UFC/h)
--
Estado

Conclusión

El crecimiento bacteriano exponencial requiere control estricto de temperatura y tiempo.

Contexto: Procesos Químicos ISO 14001

Ejercicio 3: Mezcla de Químicos en Tanque

Tanque de Mezcla

Planteamiento del Problema

Un tanque de mezcla recibe solución concentrada y descarga solución diluida. Se debe controlar la concentración final.

Objetivo y Propósito

Objetivo Numérico (Norma ISO 14001)
Concentración ≤ 5 g/L en 60 min

Ecuación Diferencial

$$ \frac{dQ}{dt} = \text{tasa\_entrada} - \text{tasa\_salida} $$
Solución: $$ Q(t) = Q_{entrada} + (Q_0 - Q_{entrada})e^{-rt/V} $$

Parámetros del Sistema

Cantidad Inicial Q₀ (g) 50
Tasa de Entrada (g/min) 2
Tasa de Flujo r (L/min) 1
Volumen V (L) 100
Tiempo t (min) 60
0
Concentración (g/L)
0
Pendiente (g/L/min)
--
Estado

Conclusión

La concentración en el tanque debe mantenerse dentro de límites ambientales seguros.

Contexto: Control de Calidad ISO 2919

Ejercicio 4: Decaimiento Radiactivo en Medición

Material Radiactivo

Planteamiento del Problema

En control de calidad se usan fuentes radiactivas para medición de espesores. La actividad decae con el tiempo.

Objetivo y Propósito

Objetivo Numérico (Norma ISO 2919)
Actividad ≥ 50% de la inicial

Ecuación Diferencial

$$ \frac{dA}{dt} = -\lambda A $$
Solución: $$ A(t) = A_0 e^{-\lambda t} $$

Parámetros del Sistema

Actividad Inicial A₀ (mCi) 100
Constante λ (1/día) 0.01
Tiempo t (días) 30
0
Actividad (mCi)
0
Pendiente (mCi/día)
--
Estado

Conclusión

La actividad radiactiva debe mantenerse dentro de rangos seguros para medición precisa.

Contexto: Productividad ISO 9001

Ejercicio 5: Curva de Aprendizaje en Producción

Curva de Aprendizaje

Planteamiento del Problema

La productividad de los operadores mejora con la experiencia. Se modela con una ecuación diferencial de aprendizaje.

Objetivo y Propósito

Objetivo Numérico (Norma ISO 9001)
Productividad ≥ 85 unidades/hora

Ecuación Diferencial

$$ \frac{dP}{dx} = k(M - P) $$
Solución: $$ P(x) = M - (M - P_0)e^{-kx} $$

Parámetros del Sistema

Productividad Inicial P₀ (u/h) 50
Productividad Máxima M (u/h) 100
Constante k (1/unidad) 0.05
Unidades Producidas x 50
0
Productividad (u/h)
0
Pendiente (u/h/unidad)
--
Estado

Conclusión

La curva de aprendizaje permite planificar la capacitación y alcanzar metas de productividad.

Actividad Integradora ISO 9001 + ISO 14001

Actividad en Equipos: Optimización de Proceso Industrial

Contexto del Problema

Una planta industrial en Ciudad Juárez necesita optimizar su proceso de enfriamiento de piezas metálicas después del tratamiento térmico. El proceso debe cumplir con normas ISO 9001 (calidad) e ISO 14001 (ambiental).

Planteamiento

Las piezas salen del horno a 250°C y deben enfriarse a 35°C antes del siguiente proceso. El tiempo máximo permitido es 45 minutos. La temperatura ambiente es 22°C.

$$ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_{amb}) $$

Pasos a Seguir

  1. Formar equipos de 3-4 estudiantes y asignar roles (líder, calculista, documentador, presentador).
  2. Identificar parámetros: T₀ = 250°C, T_amb = 22°C, T_meta = 35°C, t_máx = 45 min.
  3. Calcular constante k necesaria usando la ecuación de enfriamiento de Newton.
  4. Simular el proceso ajustando los parámetros en el simulador del Ejercicio 1.
  5. Documentar resultados en la tabla de resultados del equipo.
  6. Presentar conclusiones sobre viabilidad del proceso y recomendaciones.

Parámetros a Calcular

Constante k calculada (1/min) --
Temperatura a 45 min (°C) --
--
Temp. Final (°C)
--
Estado

Resultados del Equipo

Parámetro Valor Unidad Cumple ISO
Temperatura Inicial 250 °C -
Temperatura Ambiente 22 °C -
Temperatura Meta 35 °C -
Tiempo Máximo 45 min -
Constante k -- 1/min --
Temperatura Final -- °C --

Bibliografía Recomendada

1. Zill, D. G. (2018). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. 11va Edición. Cengage Learning.
2. Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2017). Elementary Differential Equations. 11th Edition. Wiley.
3. Simmons, G. F. (2019). Differential Equations with Applications. 3rd Edition. CRC Press.
4. Nagle, R. K., Saff, E. B., & Snider, A. D. (2020). Fundamentals of Differential Equations. 9th Edition. Pearson.